16279. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
расположены одна вне другой. Их общая внешняя касательная l_{1}
касается \Gamma_{1}
в точке A
, а \Gamma_{2}
— в точке B
. Вторая общая внешняя касательная касается \Gamma_{1}
в точке C
, а \Gamma_{2}
— в точке D
. Точки M
и N
— середины отрезков AB
и CD
соответственно, а P
и Q
— точки пересечения отрезков NA
и NB
с \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
соответственно, отличные от A
и B
. Докажите, что прямые CP
, DQ
и MN
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть C'
и D'
— точки пересечения прямых соответственно CP
и DQ
с отрезком MN
. Докажем, что эти точки совпадают. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Из симметрии относительно линии центров данных окружностей получаем, что AMNC
и BMND
— равнобедренные трапеции (или прямоугольники). Тогда AC\parallel MN
и MN\parallel BD
, а
\angle AMN=\angle MNC=\angle C'NC.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle C'CN=\angle PCN=\angle CAP=\angle CAN=\angle ANM,
поэтому треугольники CNC'
и NMA
подобны по двум углам. Значит,
\frac{CN}{NM}=\frac{NC'}{MA}~\Rightarrow~NC'=\frac{CN\cdot MA}{NM}.
Аналогично,
ND'=\frac{DN\cdot MB}{NM},
а так как CN=DN
и MA=MB
, то NC'=ND'
. Значит, NC'=ND'
. При этом точки C'
и D'
лежат на прямой MN
по одну сторону от точки N
. Следовательно, они совпадают. Что и требовалось доказать.
Примечание. Утверждение верно и для случая, когда окружности имеют общие точки.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 4, задача 3339 (2008, с. 239,242), с. 242