1628. Точки A
, B
и C
лежат на одной прямой, а точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— на другой. Докажите, что если AB_{1}\parallel BA_{1}
и AC_{1}\parallel CA_{1}
, то BC_{1}\parallel CB_{1}
.
Указание. Если данные прямые не параллельны, рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Если две данные прямые параллельны, то утверждение очевидно. Пусть прямые пересекаются в точке O
. Тогда
\frac{OA}{OB}=\frac{OB_{1}}{OA_{1}},~\frac{OC}{OA}=\frac{OA_{1}}{OC_{1}}.
Перемножив почленно полученные равенства, получим, что
\frac{OC}{OB}=\frac{OB_{1}}{OC_{1}}.
Следовательно, BC_{1}\parallel CB_{1}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 1.12(а), с. 11
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.12(а), с. 13