16280. Продолжение биссектрисы AE
треугольника ABC
пересекает описанную окружность треугольника в точке D
. Докажите, что если AB^{2}+AC^{2}=2AD^{2}
, то угол между прямыми AD
и BC
равен 45^{\circ}
.
Решение. Обозначим углы данного треугольника при вершинах A
, B
и C
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника. Тогда
\angle CBD=\angle CAD=\frac{\alpha}{2}~\Rightarrow~\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD=\beta+\frac{\alpha}{2}.
По теореме синусов
\frac{AB}{\sin\gamma}=\frac{AC}{\sin\beta}=\frac{AD}{\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)}=2R,
откуда
AB=2R\sin\gamma,~AC=2R\sin\beta,~AD=2R\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right).
Тогда
AB^{2}+AC^{2}=2AD^{2}~\Leftrightarrow~2\sin^{2}\gamma+2\sin^{2}\beta=4\sin^{2}\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~1-\cos2\gamma+1-\cos2\beta=2-2\cos(2\beta+\alpha)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos2\gamma+\cos2\beta=2\cos(2\beta+\alpha)~\Leftrightarrow~2\cos(\gamma+\beta)\cos(\gamma-\beta)=2\cos(180^{\circ}-\gamma+\beta)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos(\gamma+\beta)\cos(\gamma-\beta)=-\cos(\gamma-\beta)~\Leftrightarrow~\cos(\gamma-\beta)(\cos(\gamma+\beta)+1)=0.
Заметим, что \cos(\gamma+\beta)\ne-1
, так как \gamma+\beta\ne180^{\circ}
. Тогда
\cos(\gamma-\beta)=0~\Rightarrow~\gamma-\beta=\pm90^{\circ}.
Если \gamma\gt\beta
, то
\gamma-\beta=90^{\circ}~\Rightarrow~180^{\circ}-\alpha-\beta=\gamma=90^{\circ}+\beta~\Rightarrow~\alpha+2\beta=90^{\circ},
то
\angle AEC=\angle BAE+\angle BAE=\frac{\alpha}{2}+\beta=45^{\circ}.
Если же \gamma\gt\beta
, то \gamma-\beta=-90^{\circ}
, и аналогично получим, что \angle AEB=45^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 4, задача 3340 (2008, с. 239,242), с. 242