16282. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон AC
и AB
в точках E
и F
соответственно. Для каких точек P
отрезка EF
площади треугольников BEC
, BPC
и DFC
образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию?
Ответ. P
— середина EF
.
Решение. Если AB=AC
, утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда AB\ne AC
.
Пусть e
, p
и f
— расстояния от точек E
, P
и F
до прямой BC
. Тогда площади треугольников BEC
, BPC
и DFC
образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда арифметическую прогрессию образуют высоты треугольников BEC
, BPC
и DFC
, опущенные на их общую сторону BC
, и равные e
, p
и f
соответственно, т. е. 2p=e+f
.
Докажем, что единственная точка P
отрезка EF
, удовлетворяющая этому условию, — середина отрезка EF
.
Доказательство следует из следующего утверждения. Если точка M
и N
лежат на сторонах XY
и XZ
треугольника XYZ
, причём MN\parallel YZ
, то M
— середина XY
тогда и только тогда, когда YZ=2MN
.
Действительно, если M
— середина XY
, а MN\parallel YZ
, то из теоремы Фалеса получаем, что MN
— средняя линия треугольника XYZ
. Следовательно, YZ=2MN
.
Обратно, пусть YZ=2MN
, и при этом MN\parallel YZ
. Предположим что точка M
отлична от середины M'
стороны XY
, а M'N'
— средняя линия треугольника XYZ
, параллельная стороне YZ
. Тогда M'N'=\frac{1}{2}YZ=MN
и M'N'\parallel YZ\parallel MN
, поэтому MM'N'M
— параллелограмм. Значит, MM'\parallel NN'
, т. е. XY\parallel XZ
. Противоречие.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 4, задача 3341 (2008, с. 240, 242), с. 242