16284. Пересекающиеся окружности с центрами O_{1}
, O_{2}
и радиусами соответственно a
и b
касаются внутренним образом в точках соответственно P
и Q
окружности с центром O
и радиусом r
. Одна из точек пересечения первых двух окружностей лежит на отрезке PQ
. Докажите, что r=a+b
.
Решение. Пусть точка S
пересечения окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
лежит на отрезке PQ
. Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому точка O_{1}
лежит на отрезке OP
, а точка O_{2}
— на отрезке OQ
.
Поскольку точки P
, S
и Q
лежат на одной прямой, у равнобедренных треугольников POA
, PO_{1}S
и SO_{2}P
все углы при основаниях PQ
, PS
и SQ
равны, поэтому OP\parallel O_{2}S
и OQ\parallel O_{1}S
. Значит, OO_{1}SO_{2}
— параллелограмм. Следовательно,
a+b=O_{1}P+O_{2}Q=(OP-OO_{1})+(OQ-OO_{2})=(r-OO_{1})+(r-OO_{2})=
=2r-(OO_{1}+OO_{2})=2r-(O_{2}S+O_{1}S)=2r-(a+b),
откуда a+b=r
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 1, задача M393, с. 13