16288. Точка D
лежит на стороне AC
треугольника ABC
, в котором \angle ACB\lt\angle BAC\lt90^{\circ}
, причём BD=BA
. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Точка J
— центр вписанной окружности треугольника BCD
. Докажите, что прямая KL
проходит через середину отрезка AJ
.
Решение. Пусть L'
— точка на стороне AC
, для которой JL'\parallel LK
, отрезки AJ
и KL
пересекаются в точке M
, а вписанная окружность треугольника BCD
касается его стороны CD
в точке T
.
Точка J
лежит на биссектрисе угла BDC
, а треугольник KAL
равнобедренный (AL=AK
), поэтому
\angle JDL'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ADB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ADB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAD=\angle ALK=\angle DL'J,
а также DL'=2DT
. Тогда
DL'=2DT=CD+DB-BC=AB+CD-BC~\mbox{и}~2AL=AB+AC-BC,
а так как
AC=CD+AL'-DL'~\mbox{и}~DL'=2DT=CD+BD-BC=CD+AB-BC,
то
AL'=AC-CD+DL'=AC-CD+(CD+AB-BC)=AC+AB-BC=2AL.
Значит, L
— середина отрезка AL'
. Следовательно, по теореме Фалеса M
— середина отрезка AJ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 2006, из материалов жюри
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 2, задача G3 (2008, с. 461-464), с. 87