16289. Пусть m_{a}
и m_{b}
— медианы прямоугольного треугольника ABC
, проведённые к катетам BC=a
и AC=b
соответственно. Докажите, что
\frac{\sqrt{5}}{2}\leqslant\frac{m_{a}+m_{b}}{a+b}\lt\frac{3}{2}.
Решение. На продолжении катета AC
за точку A
отложим отрезок AF=BC=a
, а на прямой, проведённой через точку F
перпендикулярно AF
отложим отрезок FE=AC=b
, причём так, чтобы точки B
и E
лежали по разные стороны от прямой AC
. Пусть D
и G
— середины катетов BC
и FE
равных треугольников ABC
и EAF
соответственно. Тогда AD=m_{a}
и AG=m_{b}
.
Применив неравенство треугольника к треугольникам ACD
и AFG
, получим
m_{a}+m_{b}=AD+AG\lt(AC+CD)+(AF+FG)=
=\left(b+\frac{a}{2}\right)+\left(a+\frac{b}{2}\right)=\frac{3}{2}(a+b).
Следовательно,
\frac{m_{a}+m_{b}}{a+b}\lt\frac{3}{2}.
Если точки D
, A
и G
не лежат на одной прямой, то применив неравенство треугольника к треугольнику ADG
, получим
m_{a}+m_{b}=AD+AG\gt DG=\sqrt{CF^{2}+(BC+EF)^{2}}=
=\sqrt{(a+b)^{2}+\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^{2}}=\frac{(a+b)\sqrt{5}}{2},
откуда
\frac{m_{a}+m_{b}}{a+b}\gt\frac{\sqrt{5}}{2}.
Если же точки D
, A
и G
лежат на одной прямой, то
m_{a}+m_{b}=AD+AG=DG=\frac{\sqrt{5}}{2}(a+b),
поэтому
\frac{m_{a}+m_{b}}{a+b}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Следовательно,
\frac{m_{a}+m_{b}}{a+b}\geqslant\frac{\sqrt{5}}{2}.
(Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник ABC
прямоугольный и равнобедренный.)
Таким образом,
\frac{\sqrt{5}}{2}\leqslant\frac{m_{a}+m_{b}}{a+b}\lt\frac{3}{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 3, задача 3436 (2009, с. 174, 176), с. 189