1629. Точки A
, B
и C
лежат на одной прямой, а точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
таковы, что AB_{1}\parallel BA_{1}
, AC_{1}\parallel CA_{1}
и BC_{1}\parallel CB_{1}
. Докажите, что точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой.
Указание. Пусть D
— точка пересечения прямых CA_{1}
и AB_{1}
. Докажите, что треугольники A_{1}DB_{1}
и C_{1}AB_{1}
подобны.
Решение. Пусть D
— точка пересечения прямых CA_{1}
и AB_{1}
, E
— точка пересечения прямых CB_{1}
и AC_{1}
. Тогда
\frac{CA_{1}}{A_{1}D}=\frac{CB}{BA}=\frac{EC_{1}}{C_{1}A}.
Из подобия треугольников CB_{1}D
и EB_{1}A
следует, что \frac{CD}{AE}=\frac{B_{1}D}{AB_{1}}
. Поэтому \frac{A_{1}D}{CA_{1}}=\frac{B_{1}D}{AB_{1}}
, а так как \angle A_{1}DB_{1}=\angle C_{1}AB_{1}
, то треугольники A_{1}DB_{1}
и C_{1}AB_{1}
подобны. Значит, \angle A_{1}B_{1}D=\angle C_{1}B_{1}A
. Следовательно, точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой.