16295. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
. Докажите, что
\frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}+\frac{b(c+a)}{b^{2}+ca}+\frac{c(a+b)}{c^{2}+ab}\leqslant3.
Решение. Благодаря симметрии можно считать, что a\geqslant b\geqslant c
. Тогда
3-\frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}-\frac{b(c+a)}{b^{2}+ca}-\frac{c(a+b)}{c^{2}+ab}=
=\left(1-\frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}\right)+\left(1-\frac{b(c+a)}{b^{2}+ca}\right)+\left(1-\frac{c(a+b)}{c^{2}+ab}\right)=
=\frac{a^{2}-ab-ac+bc}{a^{2}+bc}+\frac{b^{2}-bc-ba+ca}{b^{2}+ca}+\frac{c^{2}-ca-cb+bc}{c^{2}+ab}=
=\frac{(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}+\frac{(b-c)(b-a)}{b^{2}+ca}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^{2}+ab}=
=\frac{(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}+(b-c)\left(\frac{b-a}{b^{2}+ca}-\frac{c-a}{c^{2}+ab}\right)=
=\frac{(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}+(b-c)\left(\frac{a-c}{c^{2}+ab}-\frac{a-b}{b^{2}+ca}\right)=
=\frac{(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}+(b-c)\left(\frac{a-c}{c^{2}+ab}-\frac{a-b}{c^{2}+ab}\right)+(b-c)\left(\frac{a-b}{c^{2}+ab}-\frac{a-b}{b^{2}+ca}\right)=
=\frac{(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}+\frac{(b-c)^{2}}{c^{2}+ab}+\frac{(b-c)(a-b)(b^{2}+ca-c^{2}-ab)}{(c^{2}+ab)(b^{2}+ca)}=
=\frac{(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}+\frac{(b-c)^{2}}{c^{2}+ab}+\frac{(b-c)(a-b)((b^{2}-c^{2})-a(b-c))}{(c^{2}+ab)(b^{2}+ca)}=
=\frac{(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}+\frac{(b-c)^{2}}{c^{2}+ab}+\frac{(b-c)^{2}(a-b)(b+c-a)}{(c^{2}+ab)(b^{2}+ca)}\geqslant0,
так как a\geqslant b\geqslant c
, и по неравенству треугольника b+c-a\gt0
. Следовательно,
\frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}+\frac{b(c+a)}{b^{2}+ca}+\frac{c(a+b)}{c^{2}+ab}\leqslant3.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 6, задача M419, с. 368