16298. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AC\ne BC
. Точки D
и E
лежат на сторонах BC
и AC
соответственно, причём ABDE
— вписанный четырёхугольник, диагонали AD
и BE
которого пересекаются в точке P
. Прямые CP
и AB
перпендикулярны. Докажите, что точка P
— ортоцентр треугольника ABC
.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC=a
и AC=b
, через \alpha
и \beta
соответственно, CE=r
, EA=s
, CD=u
, BD=t
, \angle ADE=\angle ABE=\theta
, \angle BAD=\angle BED=\varphi
, \angle AEB=\angle ADB=\omega
. Тогда
\angle CDE=\angle CAB=\alpha~\mbox{и}~\angle CED=ABC=\beta.
По теореме косинусов
\frac{r}{u}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{a}{b}~\Rightarrow~rb=au,
\frac{s}{\sin\theta}=\frac{AB}{\sin\omega}=\frac{t}{\sin\varphi}~\Rightarrow~s=\frac{AB\sin\theta}{\sin\omega}~\mbox{и}~t=\frac{AB\sin\varphi}{\sin\omega}.
По теореме Чевы
\frac{r}{s}\cdot\frac{b\cos\alpha}{a\cos\beta}\cdot\frac{t}{u}=1~\Rightarrow~\frac{t}{s}=\frac{au\cos\beta}{rb\cos\alpha}=\frac{au\cos\beta}{au\cos\alpha}=\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}~\Rightarrow
\Rightarrow~\sin\varphi\cos\alpha=\sin\theta\cos\beta~\Rightarrow~\sin(\varphi+\alpha)+\sin(\varphi+\alpha)=\sin(\theta+\beta)+\sin(\theta-\beta),
а так как
\alpha+\theta=\beta+\varphi=180^{\circ}-\omega,
то
\varphi-\alpha=\theta-\beta,
поэтому
\sin(\varphi+\alpha)=\sin(\theta+\beta).
Если
\varphi+\alpha=\theta+\beta,
то, вычитая из этого равенства равенство
\alpha+\theta=\beta+\varphi,
получим \alpha=\beta
, что противоречит условию задачи.
Тогда
(\varphi+\alpha)+(\theta+\beta)=180^{\circ}~\Rightarrow~(\alpha+\theta)+(\beta+\varphi)=180^{\circ},
а так как
\alpha+\theta=\beta+\varphi,
то
\alpha+\theta=\beta+\varphi=90^{\circ}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Математические олимпиады Чехии и Словакии. —
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2010, № 8, задача 5 (2009, с. 500), с. 511