1630. Лемма биссектрального треугольника. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA_{1}
и BB_{1}
. Докажите, что расстояние от любой точки M
отрезка A_{1}B_{1}
до прямой AB
равно сумме расстояний от M
до прямых AC
и BC
.
Указание. Опустите перпендикуляры из точки B_{1}
на прямые AB
и BC
, а из точки A_{1}
— на прямые AB
и AC
.
Решение. Пусть A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— проекции точки M
на прямые BC
, AC
, AB
; T
и F
— проекции точки B_{1}
на AB
и BC
; Q
и P
— проекции точки A_{1}
на AB
и AC
. Обозначим
A_{1}Q=A_{1}P=a,~B_{1}T=B_{1}F=b,~\frac{A_{1}M}{MB_{1}}=x.
Тогда (см. примечание к задаче 1502)
MB_{2}=\frac{MB_{1}}{A_{1}B_{1}}\cdot A_{1}P=\frac{a}{x+1},
MA_{2}=\frac{MA_{1}}{A_{1}B_{1}}\cdot B_{1}F=\frac{bx}{x+1}.
Пусть E
— точка пересечения прямых B_{1}Q
и MC_{2}
. Тогда из трапеции TB_{1}A_{1}Q
находим, что
MC_{2}=ME+EC_{2}=\frac{B_{1}M}{A_{1}B_{1}}\cdot A_{1}Q+\frac{QC_{2}}{QT}\cdot B_{1}T=
=\frac{a}{x+1}+\frac{bx}{x+1}=MB_{2}+MA_{2}.
Примечание. 1. Если точка M
лежит на продолжении отрезка B_{1}A_{1}
за точку A_{1}
, то можно аналогично доказать, что MB_{2}=MC_{2}+MA_{2}
.
2. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.