16302. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
имеют общий центр O
, причём окружность \Gamma_{1}
расположена внутри \Gamma_{2}
. Точка A
, отличная от O
, лежит внутри окружности \Gamma_{1}
, а луч с началом A
, не совпадающий ни с лучом AO
, ни с лучом, дополнительным к AO
, пересекает окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в точках B
и C
соответственно. Касательные к соответствующим окружностям, проведённые в точках B
и C
, пересекаются в точке D
, а E
— проекция точки D
на прямую BC
. Докажите, что AB=EC
тогда и только тогда, когда OA\perp BC
.
Решение. Пусть A'
— проекция точки O
на прямую BC
. Точки A
и A'
лежат на прямой BC
по одну сторону от точки B
, так как и A
, и A'
находятся внутри окружности \Gamma_{1}
. Значит, OA\perp BC
тогда и только тогда, когда точки A
и A'
совпадают, т. е. тогда и только тогда, когда AB=A'B
(см. задачи 1676 и 1677).
Из точек B
и C
отрезок OD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности \Gamma_{3}
с диаметром OD
. Пусть M
— её центр. Поскольку MB=MC
, проекция N
точки M
на прямую BC
— середина отрезка BC
. Прямые OA'
, MN
и DE
параллельны (они перпендикулярны прямой BC
), а так как OM=MD
, то A'N=NE
. Значит,
A'B=A'N-BN=NE-NC=EC.
Таким образом AB=EC
тогда и только тогда, когда AB=A'B
, т. е. тогда и только тогда, когда OA\perp BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 1, задача 3505 (2010, с. 45, 47, 107, 109), с. 57