16304. На стороне AB
квадрата ABCD
отмечена точка P
, причём AP:PB=2:1
. Точка Q
лежит внутри квадрата, причём AQ=PQ=CQ
. Найдите площадь треугольника CPQ
.
Ответ. 10.
Решение. Точка Q
равноудалена от концов отрезка AP
, значит, она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Точка Q
равноудалена от концов отрезка AC
, значит, она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку, т. е. на диагонали BD
данного квадрата.
Пусть серединный перпендикуляр к отрезку AP
пересекает стороны AB
и CD
в точках M
и N
соответственно. Тогда
DN=AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}AB=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot6=2,
поэтому
CN=CD-DN=6-2=4,
а так как прямоугольные треугольники BMQ
и BAD
подобны с коэффициентом \frac{BM}{BA}=\frac{2}{3}
, то
MQ=\frac{2}{3}AD=4,~NQ=MN-MQ=AD-MQ=6-4=2.
Площадь прямоугольника BCNM
равна
S_{BCMN}=BM\cdot BC=4\cdot6=24,
Следовательно,
S_{\triangle CPQ}=S_{BCMN}-S_{\triangle PMQ}-S_{\triangle PBC}-S_{\triangle CNQ}=
=24-\frac{1}{2}\cdot2\cdot4-\frac{1}{2}\cdot2\cdot6-\frac{1}{2}\cdot4\cdot2=24-4-6-4=10.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 3, задача 2, с. 133