16306. На продолжениях сторон AB
и CD
за вершины B
и D
параллелограмма ABCD
отмечены точки E
и F
соответственно, причём точки E
, C
и F
лежат на одной прямой. Докажите, что
а) BE\cdot DF=AB\cdot AD
;
б) \sqrt{AE+AF}\geqslant\sqrt{AB}+\sqrt{AD}
.
Решение. а) Треугольники BCE
и DFC
подобны по двум углам, а BC=AD
и AB=CD
. Значит,
\frac{BE}{AB}=\frac{BE}{CD}=\frac{BC}{DF}=\frac{AD}{DF}.
Следовательно,
BE\cdot DF=AB\cdot AD.
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что
(BE-DF)^{2}\geqslant0~\Leftrightarrow~BE^{2}+DF^{2}-2BE\cdot DF\geqslant0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~BE^{2}+DF^{2}+2BE\cdot DF-4BE\cdot DF\geqslant0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(BE+DF)^{2}\geqslant4BE\cdot DF~\Leftrightarrow~(BE+DF)^{2}\geqslant4AB\cdot AD~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~BE+DF\geqslant2\sqrt{AB\cdot AD}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(AE-AB)+(AF-AD)\geqslant2\sqrt{AB\cdot AD}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AE+AF\geqslant AB+AD+2\sqrt{AB\cdot AD}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AE+AF\geqslant(\sqrt{AB}+\sqrt{AD})^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sqrt{AE+AF}\geqslant\sqrt{AB}+\sqrt{AD}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 3, задача 447, с. 142; 2011, № 4, задача M453, с. 203