16309. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\ne AC
. Точка O
— центр его описанной окружности \Gamma
, H
— ортоцентр. Продолжение медианы AM
пересекает окружность \Gamma
в точке N
. Окружность с диаметром AM
пересекает окружность \Gamma
в точке P
, отличной от A
. Докажите, что прямые AP
, OH
и BC
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AH=HN
.
Решение. Пусть V
— точка окружности \Gamma
, диаметрально противоположная точке A
. Тогда VC\perp AC
, а так как BH\perp AC
, то BH\parallel VC
. Аналогично, CH\parallel BV
, поэтому BHCV
— параллелограмм с центром M
, и точки V
, M
и H
лежат на одной прямой.
Пусть эта прямая вторично пересекает окружность с диаметром AM
в точке U
. Тогда AU\perp UM
, а так как точка U
лежит на окружности с диаметром AV
, т. е. на окружности \Gamma
, и отлична от точки A
, то U
совпадает с P
.
Пусть прямые BC
и AP
пересекаются в точке G
. Поскольку MP\perp AC
, точка H
— также ортоцентр треугольника AGM
. Значит, прямая OH
проходит через точку G
тогда и только тогда, когда OH\perp AN
, а так как OA=ON
, то OH\perp AN
тогда и только тогда, когда прямая OH
— серединный перпендикуляр к отрезку AN
, т. е. тогда и только тогда, когда HA=HN
. Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 4, задача 4 (2010, с. 215-216), с. 224