1631. Пусть M
и N
— середины сторон AD
и BC
прямоугольника ABCD
. На продолжении отрезка DC
за точку D
взята точка P
; Q
— точка пересечения прямых PM
и AC
. Докажите, что \angle QNM=\angle MNP
.
Указание. Проведите через центр прямоугольника прямую, параллельную стороне BC
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через центр O
данного прямоугольника параллельно BC
, пересекает отрезок QN
в точке K
. Поскольку MO\parallel PC
, то QM:MP=QO:OC
, а так как KO\parallel BC
, то QC:OC=QK:KN
. Поэтому QM:MP=QK:KN
. Тогда KM\parallel NP
. Следовательно,
\angle MNP=\angle KMO=\angle KNM=\angle QNM.
Автор: Михеев Ю. В.
Источник: Журнал «Квант». — 1972, № 8, с. 56, М156; 1973, № 4, с. 46, М156; 2014, № 3, с. 55
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 1.14, с. 11.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.14, с. 13
Источник: Международный математический турнир им. М. В. Ломоносова для учащихся 5—8 классов. — 2013, II, устный командный тур, № 4, 7-8 классы