16311. Диагонали AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Найдите сторону CD
, если AB=39
, AE=45
, AD=60
и BC=56
.
Ответ. 39\cdot\frac{7}{15}=18{,}2
.
Решение. Треугольники BEC
и AED
подобны по двум углам, поэтому
\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}~\Rightarrow~BE=\frac{AE\cdot BC}{AD}=\frac{45\cdot56}{60}=42.
Треугольники DCE
и ABE
тоже подобны по двум углам. Обозначим
\frac{CD}{AB}=\frac{ED}{AE}=\frac{CE}{BE}=l\gt0.
Тогда
CD=l\cdot AB=39l,~CE=l\cdot BE=42l,~ED=l\cdot AE=45l.
По теореме Птолемея
AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD~\Rightarrow
\Rightarrow~39\cdot39l+60\cdot56=(45+CE)(42+ED)~\Rightarrow
\Rightarrow~39^{2}l+60\cdot56=(45+42l)(42+45l)~\Rightarrow~315l^{2}+378l-245=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень l=\frac{7}{15}
. Следовательно,
CD=39l=39\cdot\frac{7}{15}=18{,}2.
Источник: Средиземноморская математическая олимпиада. — 2007
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 6, задача 2 (2010, с. 277), с. 363