16312. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Известно, что AB=BC=CD
и AC\ne BD
. Докажите, что AE=DE
тогда и только тогда, когда \angle BAD+\angle ADC=120^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle DAE=u
, \angle EDA=v
, \angle ABD=\alpha
, \angle ACD=\beta
, \angle BAC=\angle BCA=x
, \angle BDC=\angle DBC=y
.
Тогда
u+v=x+y,~x+\alpha=y+\beta.
Значит,
\angle BAD+\angle ADC=(x+u)+(v+y)=(u+v)+(x+y)=2(x+y).
Заметим, что \alpha\ne\beta
, так как в противном случае из равенства x+\alpha=y+\beta
получим, что x=y
, что противоречит условию AC\ne BD
.
По теореме синусов из треугольников ABE
и CDE
получаем
\frac{AE}{\sin\alpha}=\frac{AB}{\sin\angle BEA}=\frac{CD}{\sin\angle DEC}=\frac{DE}{\sin\beta}.
Таким образом, поскольку \alpha\ne\beta
, то
AE=DE~\Leftrightarrow~\sin\alpha=\sin\beta~\Leftrightarrow~\alpha+\beta=180^{\circ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(180^{\circ}-2x-y)+(180^{\circ}-2y-x)=180^{\circ}~\Leftrightarrow~x+y=60^{\circ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\angle BAD+\angle ADC=2(x+y)=120^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2007
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 6, задача 1 (2010, с. 277-278), с. 365