16315. Докажите, что для любого треугольника со сторонами a
, b
и c
верно неравенство
(a+b+c)\min\{a,b,c\}\leqslant2ab+2bc+2ac-a^{2}-b^{2}-c^{2}.
Решение. Заметим, что
a+b+c=(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c),
причём по неравенству треугольника все три слагаемых в правой части положительны. Далее получаем
-a^{2}+ab+ac=(-a+b+c)a,
ab-b^{2}+bc=(a-b+c)b,
ac+bc-c^{2}=(a+b-c)c.
Следовательно,
2ab+2bc+2ac-a^{2}-b^{2}-c^{2}=
=(-a+b+c)a+(a-b+c)b+(a+b-c)c\geqslant
\geqslant\min\{a,b,c\}((-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c))=
=(a+b+c)\min\{a,b,c\},
откуда
(a+b+c)\min\{a,b,c\}\leqslant2ab+2bc+2ac-a^{2}-b^{2}-c^{2}.
Что и требовалось доказать
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 6, задача 3556 (2010, с. 315, 317), с. 395