16317. Точки A
и C
лежат на окружности с центром O
. Точка B
лежит на меньшей дуге AC
. Прямая l
— касательная к окружности, P
и Q
— точки пересечения прямой l
с биссектрисами углов AOB
и BOC
соответственно, E
— точка пересечения прямых AC
и OQ
. Докажите, что PE\perp OQ
.
Решение. Пусть радиус окружности равен 1. Обозначим \angle AOP=\angle POB=\alpha
и \angle BOA=\angle BOP=\gamma
. Тогда
\angle EOC=\angle QOC=\gamma,
\angle OCE=\angle OCA=\angle OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2(\alpha+\gamma))=90^{\circ}-(\alpha+\gamma),
и по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AEO=\angle OCA+\angle COQ=90^{\circ}-(\alpha+\gamma)+\gamma=90^{\circ}-\alpha.
По теореме синусов из треугольника AOE
получаем
OE=\frac{OA\sin\angle OAC}{\sin\angle AEO}=\frac{\sin(90^{\circ}-(\alpha+\gamma))}{\sin(90^{\circ}-\alpha)}=\frac{\cos(\alpha+\gamma)}{\cos\alpha}.
В то же время, из прямоугольного треугольника OPB
получаем, что
OP=\frac{OB}{\cos\angle BOP}=\frac{1}{\cos\alpha}.
Значит,
\frac{OE}{OP}=\frac{\frac{\cos(\alpha+\gamma)}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos\alpha}}=\cos(\alpha+\gamma).
Тогда POE
— прямоугольный треугольник с гипотенузой OP
и прямым углом при вершине E
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2011, № 6, задача 3566 (2010, с. 396, 398), с. 400