16325. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором
\angle CBD=2\angle ADB,~\angle ABD=2\angle CDB,~AB=CB.
Докажите, что AD=CD
.
Решение. Обозначим \angle ADB=\alpha
, \angle CDB=\beta
, AB=CB=a
, BD=b
. Тогда
\angle CBD=2\alpha,~\angle ABD=2\beta.
По теореме синусов из треугольников ABD
и CBD
получаем
\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+2\beta)}=\frac{a}{b}=\frac{\sin\beta}{\sin(2\alpha+\beta)}~\Rightarrow~\sin\alpha\sin(2\alpha+\beta)=\sin\beta\sin(\alpha+2\beta)~\Rightarrow
\Rightarrow~\cos(\alpha+\beta)-\cos(3\alpha+\beta)=\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha+3\beta)~\Rightarrow
\Rightarrow~\cos(3\alpha+\beta)-\cos(\alpha+3\beta)=0~\Rightarrow~\sin(2\alpha+2\beta)\sin(\alpha-\beta)=0.
Поскольку данный четырёхугольник выпуклый,
0^{\circ}\lt2\alpha+2\beta=\angle ABD+\angle CBD\lt180^{\circ}~\Rightarrow~\sin(2\alpha+2\beta)\ne0,
поэтому
\sin(\alpha-\beta)=0,
а так как
0^{\circ}\lt\alpha\lt180^{\circ}~\mbox{и}~0^{\circ}\lt\beta\lt180^{\circ},
то \alpha=\beta
.
Треугольники ABD
и CBD
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AD=CD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Канадские математические олимпиады. — 1983
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2012, № 1, задача OC3 (2020, с. 440-441), с. 13