16329. Дан равносторонний треугольник ABC
. Точки D
, E
и F
— проекции некоторой точки P
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что прямые AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек D
, E
и F
— середина стороны треугольника ABC
.
Решение. Без ограничения общности считаем, что сторона треугольника ABC
равна 2. Обозначим BD=a
, CE=b
и AF=c
. Тогда
DC=2-a,~EA=2-b,~FB=2-c.
По теореме Пифагора
PB^{2}-a^{2}=PC^{2}-(2-a)^{2},
PC^{2}-b^{2}=PA^{2}-(2-b)^{2},
PB^{2}-c^{2}=PB^{2}-(2-c)^{2}.
Сложив эти равенства, получим
a+b+c=3.
По теореме Чевы прямые AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1~\Leftrightarrow~abc=(2-a)(2-b)(2-c)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~abc=4-2(a+b+c)+(ab+bc+ac)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~abc-(ab+bc+ac)+2=0~\Leftrightarrow~(a-1)(b-1)(c-1)=0.
Следовательно, прямые AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел a
, b
и c
равно 1. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2013, № 3, задача 3730 (2012, с. 106, 107), с. 155