16332. Пусть R
и r
— соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника. Докажите, что \frac{R}{r}+\frac{r}{R}\geqslant2\sqrt{2}
.
Решение. Центр O
описанной окружности прямоугольного треугольника ABC
, т. е. середина гипотенузы BC
. Пусть I
— центр вписанной окружности этого треугольника, K
— точка касания этой окружности с гипотенузой BC
, J
— точка пересечения прямой AI
с гипотенузой. Тогда
R=AO\geqslant AJ=AI+IJ\geqslant AI+IK=r(\sqrt{2}+1)~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{R}{r}\geqslant\sqrt{2}+1~\mbox{и}~0\lt\frac{r}{R}\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда AB=AC
. Следовательно,
\frac{R}{r}+\frac{r}{R}=\sqrt{\left(\frac{R}{r}-\frac{r}{R}\right)^{2}+4}\geqslant\sqrt{(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1))^{2}+4}=2\sqrt{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник ABC
равнобедренный.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2013, № 7, задача 3767 (2012, с. 285, 287), с. 334