1634. Отрезок BE
разбивает треугольник ABC
на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен \sqrt{3}
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
, 60^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Указание. Докажите, что треугольник ABC
прямоугольный.
Решение. Пусть угол AEB
не равен углу BEC
. Поскольку угол AEB
больше угла BCE
, то остаётся только одна возможность — \angle AEB=\angle CBE
. Но тогда AC\parallel BC
, что противоречит условию. Следовательно,
\angle AEB=\angle BEC=90^{\circ}.
Если \angle BAE=\angle BCE
, то треугольники BAE
и BCE
равны, что также невозможно. Следовательно, \angle ABE=\angle BCE
. В этом случае
\angle ABC=\angle ABE+\angle CBE=\angle ABE+\angle BAE=90^{\circ}.
Тогда
\tg\angle CAB=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}.
Следовательно, \angle CAB=60^{\circ}
.