16341. Точка P
расположена в плоскости остроугольного треугольника ABC
с высотами AD
, BE
и CF
. Точки D'
, E'
и F'
— центры описанных окружностей треугольников PAD
, PBE
и PCF
соответственно. Докажите, что точки D'
, E'
и F'
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
. Точки E
и F
лежат на окружности с диаметром BC
, поэтому по теореме о произведении пересекающихся хорд
BH\cdot HE=CH\cdot HF.
Аналогично,
BH\cdot HE=AH\cdot HD,
Поэтому
AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF.
Пусть прямая PH
вторично пересекает описанную окружность треугольника PAD
в точке Q
, а описанную окружность треугольника PCF
— в точке Q_{1}
. Тогда
PH\cdot HQ=AH\cdot HD~\mbox{и}~PH\cdot HQ_{1}=CH\cdot HF=AH\cdot HD,
поэтому
PH\cdot HQ=AH\cdot HD=PH\cdot HQ_{1}~\Rightarrow~HQ=HQ_{1}.
Значит, точка Q_{1}
совпадает с Q
. Аналогично докажем, что вторая точка пересечения прямой PH
с описанной окружностью треугольника PBE
тоже совпадает с Q
. Таким образом, отрезок PQ
— общая хорда всех трёх окружностей из условия задачи. Тогда центры этих окружностей равноудалены от концов отрезка PQ
, а следовательно, лежат на одной прямой — на серединном перпендикуляре к отрезку PQ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2014, № 4, задача 3839, с. 181