1635. В равнобедренном треугольнике ABC
из середины H
основания BC
опущен перпендикуляр HE
на боковую сторону AC
; O
— середина отрезка HE
. Докажите, что прямые AO
и BE
перпендикулярны.
Указание. Медиана HK
треугольника HEC
соответствует медиане AO
подобного ему треугольника AEH
.
Решение. Первый способ. Треугольники AEH
и HEC
подобны по двум углам. При этом подобии медиане AO
треугольника AEH
соответствует медиана HK
треугольника HEC
. Поскольку K
— середина EC
, то HK\parallel BE
.
Продолжим AO
до пересечения с HK
в точке P
. Тогда \angle AOE=\angle AKP
. Поэтому
\angle EOP+\angle EKP=180^{\circ}.
Следовательно,
\angle APK=180^{\circ}-\angle OEK=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Поэтому AO
перпендикулярно BE
.
Второй способ. Пусть K
— середина CE
. Тогда HK
и OK
— средние линии треугольников BCE
и HCE
, поэтому HK\parallel BE
и OK\parallel BC
, а так как BC\perp AH
, то OK\perp AH
. Значит, O
— точка пересечения высот треугольника AKH
, проведённых из вершин H
и K
. Тогда высота, этого треугольника, проведённая из вершины A
, проходит через точку O
. Следовательно, AO\perp HK
, а так как BE\parallel HK
, то AO\perp BE
.