1635. В равнобедренном треугольнике ABC
из середины H
основания BC
опущен перпендикуляр HE
на боковую сторону AC
; O
— середина отрезка HE
. Докажите, что прямые AO
и BE
перпендикулярны.
Указание. Медиана HK
треугольника HEC
соответствует медиане AO
подобного ему треугольника AEH
.
Решение. Первый способ. Треугольники AEH
и HEC
подобны по двум углам. При этом подобии медиане AO
треугольника AEH
соответствует медиана HK
треугольника HEC
. Поскольку K
— середина EC
, то HK\parallel BE
.
Продолжим AO
до пересечения с HK
в точке P
. Тогда \angle AOE=\angle AKP
. Поэтому
\angle EOP+\angle EKP=180^{\circ}.
Следовательно,
\angle APK=180^{\circ}-\angle OEK=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Поэтому AO
перпендикулярно BE
.
Второй способ. Пусть K
— середина CE
. Тогда HK
и OK
— средние линии треугольников BCE
и HCE
, поэтому HK\parallel BE
и OK\parallel BC
, а так как BC\perp AH
, то OK\perp AH
. Значит, O
— точка пересечения высот треугольника AKH
, проведённых из вершин H
и K
. Тогда высота, этого треугольника, проведённая из вершины A
, проходит через точку O
. Следовательно, AO\perp HK
, а так как BE\parallel HK
, то AO\perp BE
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1962, II, 10 класс
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1985, том 58, № 4, задача 1199, с. 243
Источник: Дынкин Е. Б. и др. Математические задачи. — М.: Наука, 1966. — № 89, с. 19
Источник: Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. — М.: Наука, 1988. — № 22, с. 25
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 1.62, с. 16
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.63, с. 18
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 411, с. 49
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 503, с. 84