16356. Точка D
лежит на стороне BC
треугольника ABC
, а точка E
— на отрезке AD
, причём
\angle CBE=10^{\circ},~\angle ABE=20^{\circ},~\angle DCE=30^{\circ},~\angle CED=40^{\circ}.
Докажите, что AE+AC=AB
.
Решение. Обозначим AE=a
, AC=b
и AB=c
. Требуется доказать, что a+b=c
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADB=\angle EDB=40^{\circ}+30^{\circ}=70^{\circ},~\angle BEA=\angle ADB+\angle DBE=70^{\circ}+10^{\circ}=80^{\circ}.
Тогда
\angle BAE=180^{\circ}-20^{\circ}-80^{\circ}=80^{\circ}=\angle BEA.
Значит, BE=AB=c
.
Из равнобедренного треугольника ABE
получаем
a=AE=2AB\sin\frac{1}{2}\angle ABE=2c\sin10^{\circ},
а по теореме синусов из треугольника BCE
—
CE=\frac{BC\sin10^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=2c\sin10^{\circ}=a=AE.
Поскольку CED
— внешний угол при вершине равнобедренного треугольника AEC
, то
\angle CAE=\angle ACE=\frac{1}{2}\angle CED=\frac{1}{2}\cdot40^{\circ}=20^{\circ},
поэтому
b=AC=2AE\cos20^{\circ}=2\cdot a\cos20^{\circ}=2\cdot2c\sin10^{\circ}\cdot\cos20^{\circ}=4c\sin10^{\circ}\cos20^{\circ}.
Тогда
a+b=c~\Leftrightarrow~2c\sin10^{\circ}+4c\sin10^{\circ}\cos20^{\circ}=c~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin10^{\circ}+4\sin10^{\circ}\cos20^{\circ}=1~\Leftrightarrow~2\sin10^{\circ}+2(\sin30^{\circ}-\sin10^{\circ})=1~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin10^{\circ}+1-2\sin10^{\circ}=1~\Leftrightarrow~1=1.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2016, № 8, задача 4074, с. 361