16358. Пусть медиана треугольника ABC
, проведённая из вершины A
, равна m_{a}
, стороны AC
и AB
равны b
и c
соответственно, площадь треугольника равна S
. Докажите, что
m_{a}(b+c)+2m_{a}^{2}\geqslant4S\sin\angle A.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
.
Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABA'C
. Обозначим через r
и R
радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABA'
со сторонами AB=c
, BA'=AC=b
, AA'=2m_{a}=m
, полупериметром p=\frac{b+c+m}{2}
, углом \angle ABA'=180^{\circ}-\alpha
и площадью, равной площади треугольника ABC
, т. е. S
.
Тогда
m_{a}(b+c)+2m_{a}^{2}\geqslant4S\sin\angle BAC~\Leftrightarrow~2m_{a}(b+c)+4m_{a}^{2}\geqslant8S\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~m(b+c)+m^{2}\geqslant8S\sin\angle ABA'~\Leftrightarrow~m(b+c+m)\geqslant8S\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2mp\geqslant8S\sin\alpha~\Leftrightarrow~mp\geqslant4S\sin\alpha~\Leftrightarrow~\frac{mpr}{r}\geqslant4S\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{mS}{r}\geqslant4S\sin\alpha~\Leftrightarrow~\frac{m}{2r\sin\alpha}\geqslant2~\Leftrightarrow~\frac{m}{2\sin\alpha}\geqslant2r~\Leftrightarrow~R\geqslant2r.
Последнее неравенство верно (см. задачу 3587), следовательно,
m_{a}(b+c)+2m_{a}^{2}\geqslant4S\sin\angle A.
Неравенство доказано.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник ABA'
равносторонний, т. е. тогда и только тогда, когда \alpha=120^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2016, № 9, задача 4087, с. 411