16359. Углы, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, причём \alpha\lt90^{\circ}
, а площадь треугольника равна S
. Докажите, что
\frac{c\cos\beta}{ac+2S}+\frac{b\cos\gamma}{ab+2S}\lt\frac{a}{2S}.
Решение. Применив формулу
S=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,
перепишем левую часть исходного неравенства в виде
\frac{c\cos\beta}{ac+ac\sin\beta}+\frac{b\cos\gamma}{ab+ab\sin\gamma}=\frac{1}{a}\left(\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta}+\frac{\cos\gamma}{1+\sin\gamma}\right).
Применив теорему синусов, получим, что правая часть равна
\frac{a}{2S}=\frac{a}{ac\sin\beta}=\frac{1}{\frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{a\sin\gamma\sin\beta}=\frac{\sin(\beta+\gamma)}{a\sin\beta\sin\gamma}=
=\frac{\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta}{a\sin\beta\sin\gamma}=\frac{1}{a}\left(\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}+\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right).
Поскольку a\gt0
, исходное неравенство равносильно неравенству
\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta}+\frac{\cos\gamma}{1+\sin\gamma}\lt\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}+\frac{\cos\beta}{\sin\beta}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{\cos\beta}{\sin\beta}-\frac{\cos\beta}{1+\sin\gamma}\gt\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}-\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta}~\Leftrightarrow~\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta}+\frac{\cos\gamma}{1+\sin\gamma}\gt0.
Если \beta\lt90^{\circ}
и \gamma\lt90^{\circ}
, то последнее неравенство очевидно (заметим, что оба слагаемых левой части одновременно не могут быть нулями, так как в этом случае \beta=\gamma=90^{\circ}
).
Пусть, например, \gamma\gt90^{\circ}
. Тогда
\cos\gamma=-\cos(180^{\circ}-\gamma)~\mbox{и}~\sin\gamma=\sin(180^{\circ}-\gamma),
поэтому доказываемое неравенство примет вид
\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta}\gt\frac{\cos(180^{\circ}-\gamma)}{1+\sin(180^{\circ}-\gamma)},
а так как
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}~\mbox{и}~\gamma\gt90^{\circ}~\Rightarrow~\beta\lt180^{\circ}-\gamma\lt90^{\circ}.
Поскольку на интервале от 0^{\circ}
до 90^{\circ}
косинус убывает, а синус возрастает, то
\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta}\gt\frac{\cos(180^{\circ}-\gamma)}{1+\sin(180^{\circ}-\gamma)}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2016, № 10, задача 4100, с. 459