1636. На сторонах остроугольного треугольника ABC
взяты точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
так, что отрезки AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в точке H
. Докажите, что AH\cdot A_{1}H=BH\cdot B_{1}H=CH\cdot C_{1}H
тогда и только тогда, когда H
— точка пересечения высот треугольника ABC
.
Указание. Если AH\cdot A_{1}H=BH\cdot B_{1}H
, то треугольники AH_{1}B
и BHA_{1}
подобны, и наоборот.
Решение. Если H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, то треугольники AHB_{1}
и BHA_{1}
подобны. Следовательно,
\frac{AH}{BH}=\frac{B_{1}H}{A_{1}H},~\mbox{или}~AH\cdot A_{1}H=BH\cdot B_{1}H.
Аналогично BH\cdot B_{1}H=CH\cdot C_{1}H
.
Пусть теперь
AH\cdot A_{1}H=BH\cdot B_{1}H=CH\cdot C_{1}H.
Тогда треугольники AHB_{1}
и BHA_{1}
подобны. Обозначим \angle AB_{1}H=\angle BA_{1}H=\varphi
. Тогда
\angle CA_{1}H=\angle CB_{1}H=180^{\circ}-\varphi.
Аналогично
\angle BC_{1}H=\angle CB_{1}H=180^{\circ}-\varphi,~\angle AC_{1}H=\angle CA_{1}H=180^{\circ}-\varphi.
Следовательно,
\angle AC_{1}H=\angle BC_{1}H=90^{\circ}.