16364. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AC
и AB
в точках E
и F
соответственно. Прямые CF
и BE
вторично пересекают эту окружность в точках D
и G
соответственно. Докажите, что
\frac{FE\cdot GD}{FG\cdot ED}=3.
Решение. На отрезке FD
отметим точку K
, для которой \angle KGF=\angle DGE
. Треугольники KGF
и DGE
подобны по двум углам (вписанные углы GFD
и GED
опираются на одну и ту же дугу), а так как \angle EGF=\angle DHK
, то треугольники KDG
и FEG
тоже подобны по двум углам. Значит,
\frac{FK}{FG}=\frac{ED}{EG}~\mbox{и}~\frac{DK}{DG}=\frac{EF}{EG}~\Rightarrow~FG\cdot ED=FK\cdot EG~\mbox{и}~FE\cdot GD=DK\cdot EG,
поэтому
\frac{FE\cdot GD}{FG\cdot ED}=\frac{DK\cdot EG}{FK\cdot EG}=\frac{DK}{FK}.
Таким образом, осталось доказать, что \frac{DK}{FK}=3
. Пусть S
— середина отрезка DF
. Тогда \frac{DK}{FK}=3
, если K
— середина FS
.
Пусть T
— середина EG
, M
— точка касания окружности со стороной BC
, а I
— центр окружности. Тогда из точек F
, M
и T
отрезок BI
виден под прямым углом, поэтому точки F
, M
, T
, B
и I
лежат на окружности с диаметром BI
. Значит,
\angle FTG=\angle FTB=\angle FMB=\angle FEM
(последнее равенство верно по теореме об угле между касательной и хордой), а так как
\angle TGF=\angle EGF=\angle EMF,
то треугольники TGF
и EMF
подобны по двум углам. Аналогично подобны треугольники EDS
и EMF
. Следовательно, подобны треугольники TGF
и EDS
.
Тогда
\frac{TG}{GF}=\frac{ED}{DS}~\Rightarrow~\frac{ET}{GF}=\frac{ED}{FS}~\Rightarrow~\frac{ET}{ED}=\frac{FG}{FS},
а так как
\angle GFS=\angle GFD=\angle GED=\angle TED,
то треугольники GFS
и TED
подобны по двум сторонам и углу между ними.
Пусть J
— середина отрезка FG
. Поскольку треугольники GFK
и GED
подобны, а KJ
и DT
— их соответственные медианы, то подобны треугольники JFK
и TED
. Тогда подобны треугольники JFK
и GFS
, поэтому \angle FJK=\angle FGS
, и JK\parallel GS
, а так как J
— середина отрезка FG
, то K
— середина FS
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 5, задача 4351, с. 270