16365. Сторона квадрата ABCD
равна 1. Точки M
и N
лежат на сторонах AB
и BC
соответственно, а точка P
на диагонали AC
, причём треугольники BMN
и PMN
равны. Докажите, что
\frac{1}{MB}+\frac{1}{BN}=2+\frac{2}{MB+BN}.
Решение. Пусть сторона квадрата равны 1. Выберем такую прямоугольную систему координат, в которой точки вершины квадрата и точки M
и N
имели бы следующие координаты:
A(0;1),~B(0;0),~C(1;0),~D(1;1),~M(0;a),~N(c;0).
Тогда уравнения прямых AC
и MN
имеют вид
y=-x+1~\mbox{и}~\frac{x}{c}+\frac{y}{a}=1,
а угловой коэффициент второй прямой равен -\frac{a}{c}
. Поскольку точки B
и P
симметричны относительно прямой MN
, прямая BP
перпендикулярна MN
, и тогда её угловой коэффициент равен равен -\frac{1}{-\frac{a}{c}}=\frac{c}{a}
, а уравнение имеет вид y=\frac{c}{a}x
.
Решив систему
\syst{y=-x+1\\y=\frac{c}{a}x,\\}
найдём координаты точки P
пересечения прямых, заданных этими уравнениями: P\left(\frac{a}{a+c};\frac{c}{a+c}\right)
.
Пусть K
— точка пересечения MN
и BP
. Тогда K
— середина отрезка BP
, поэтому координаты точки K
равны средним арифметическим координат её концов, т. е. x=\frac{a}{2(a+c)}
и y=\frac{c}{2(a+c)}
. Точка K
лежит на прямой MN
, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Следовательно,
\frac{a}{2c(a+c)}+\frac{c}{2a(a+c)}=1~\Leftrightarrow~a^{2}+c^{2}=2ac(a+c)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a+c)^{2}=2ac(a+c+1)~\Leftrightarrow~\frac{a+c}{ac}=\frac{2(a+c+1)}{a+c}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=2\left(1+\frac{1}{a+c}\right),
т. е.
\frac{1}{MB}+\frac{1}{BN}=2+\frac{2}{MB+BN}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 5, задача 4354, с. 275