16366. Точки P
и Q
— середины сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
. Прямая, проведённая через ортоцентр H
треугольника перпендикулярно HQ
, пересекает прямые AB
и BC
в точках X
и Z
соответственно, а прямая, проведённая через H
перпендикулярно HP
, пересекает прямые AC
и BC
в точках W
и Y
соответственно. Докажите, что WXYZ
— параллелограмм.
Решение. Достаточно доказать, что H
— общая середина отрезков XZ
и WY
. Обозначим \angle ABC=\beta
и ACB=\gamma
.
Пусть высота AA_{1}
треугольника ABC
равна 1. Выберем такую прямоугольную систему координат, в которой вершины треугольника имели бы следующие координаты:
A(0;1),~B(-u;0),~C(v;0),
где u\gt0
и v\gt0
. Тогда
\angle BHA_{1}=\gamma,~HA_{1}=BA_{1}\ctg\gamma=BA_{1}\cdot\frac{CA_{1}}{AA_{1}}=uv.
Значит, координаты точки H
— x=0
, y=uv
. Кроме того, поскольку P
и Q
— середины отрезков AB
и AC
соответственно, получаем P\left(-\frac{u}{2};\frac{1}{2}\right)
и Q\left(\frac{v}{2};\frac{1}{2}\right)
. Тогда угловой коэффициент прямой PH
равен
k_{1}=\frac{uv-\frac{1}{2}}{\frac{u}{2}}=\frac{2uv-1}{u},
а так как WY\perp PH
, то угловой коэффициент прямой WY
равен
k_{2}=-\frac{1}{k_{1}}=\frac{u}{1-2uv},
и уравнение этой прямой имеет вид
y=\frac{u}{1-2uv}x+uv.
Кроме того, уравнения прямых BC
, AC
и AB
имеют вид
y=0,~\frac{x}{v}+y=1~\mbox{и}~-\frac{x}{u}+y=1.
Решив систему
\syst{y=\frac{u}{1-2uv}x+uv\\\frac{x}{v}+y=1,\\}
найдём W(v(1-2uv);2uv)
. Решив систему
\syst{y=0\\y=\frac{u}{1-2uv}x+uv,\\}
найдём Y(v(2uv-1);0)
.
Полусуммы соответствующих координат точек W
и Y
равны
\frac{v(1-2uv)+v(2uv-1)}{2}=0~\mbox{и}~\frac{2uv+0}{2}=uv,
т. е. совпадают с координатами точки H
. Значит, H
— середина отрезка WY
. Аналогично докажем, что H
— середина отрезка XZ
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 5, задача 4355, с. 277