16370. Найдите геометрическом место точек P
, лежащих внутри квадрата ABC
, для которых
\ctg\angle CPD+\ctg\angle CDP=2.
Ответ. Лежащая внутри квадрата четверть окружности с центром A
и радиусом AB
.
Решение. Пусть сторона квадрата равна 1. Рассмотрим прямоугольную систему координат, в которой вершины квадрата и точка P
имеют координаты
A(0;0),~B(0;1),~C(1;1),~D(1;0),~P(x;y).
Обозначим \angle CPD=\theta
, \angle DCP=\gamma
и \angle CDP=\delta
. Тогда
\ctg\gamma=\frac{1-y}{1-x},~\ctg\delta=\frac{y}{1-x}.
Тогда
\ctg\theta=\ctg(180^{\circ}-\gamma-\delta)=-\ctg(\gamma+\delta)=\frac{1-\ctg\gamma\ctg\delta}{\ctg\gamma+\ctg\delta}=
=\frac{1-\frac{1-y}{1-x}\cdot\frac{y}{1-x}}{\frac{1-y}{1-x}+\frac{y}{1-x}}=\frac{(1-x)^{2}+(y^{2}-y)}{1-x}.
По условию
\ctg\theta+\ctg\delta=2,
или
\frac{(1-x)^{2}+(y^{2}-y)}{1-x}+\frac{y}{1-x}=2~\Leftrightarrow~\frac{(1-x)^{2}+y^{2}}{1-x}=2~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(1-x)^{2}+y^{2}=2(1-x)~\Leftrightarrow~x^{2}+y^{2}=1.
Следовательно, искомое ГМТ — расположенная внутри квадрата четверть окружности единичного радиуса с центром в точке A
. Аналогично для квадрата со стороной a
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 6, задача 4393, с. 367