16374. Точка I
— центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC
, точка N
— центр окружности девяти точек этого треугольника. Точки A
, I
и N
лежат на одной прямой. Найдите угол BAC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Заметим, что для любой точки N
, лежащей на биссектрисе угла BAC
и равноудалённой от точек B'
и C'
, лежащих на сторонах соответственно AC
и AB
этого угла, либо AB'=AC'
, либо четырёхугольник AB'IC'
вписанный (см. задачу 10280).
В нашей задаче окружность девяти точек проходит через середины C'
и B'
сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, причём AB'\ne AC'
, так как треугольник ABC
неравнобедренный. При этом по условию точка I
лежит на биссектрисе угла BAC
. Значит, четырёхугольник AB'IC'
вписанный.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Пусть A'
— середина стороны BC
. Тогда
\angle B'A'C=\angle BAC=\alpha.
Заметим, что угол B'A'C'
(как и угол BAC
) острый, так как иначе точка N
не может лежать на биссектрисе угла BAC
. Тогда центральный угол B'NC'
окружности девяти точек вдвое больше вписанного угла B'A'C'
, поэтому \angle B'NC'=2\alpha
, а так как четырёхугольник AB'IC'
вписанный, то
\angle B'NC'+\angle B'AC'=180^{\circ},~\mbox{или}~2\alpha+\alpha=180^{\circ}.
Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 8, задача 4422, с. 480