16380. Пусть A
и B
— точки на окружности радиуса r
с центром O
. Градусная мера дуги AB
равна \theta\lt180^{\circ}
. Точка M
— середина этой дуги, точки P
и N
лежат на радиусах OA
и OB
соответственно, точки Q
и R
— на данной дуге AB
, причём PQRN
— прямоугольник. Докажите, что площадь если этого прямоугольника максимальна, то отрезки OQ
, OM
и OR
разбивают угол QOB
на четыре равные части. Выразите эту максимальную площадь через r
и \theta
.
Ответ. r^{2}\tg\frac{\theta}{4}
.
Решение. Пусть T
— середина отрезка QR
. Тогда OT\perp QR
и OT\perp PN
, а также OP=OS
.
Обозначим \angle MOR=\angle MOQ=x
(x\lt\frac{\theta}{2}
). Пусть U
— середина отрезка PN
. Тогда
OT=QT\ctg x,~OU=PU\ctg\frac{\theta}{2},~TU=OT-OU,
PU=QT=r\sin x,~PN=2PU=2r\sin x.
Значит,
TU=OT-OU=OT-PU\ctg\frac{\theta}{2}=r\cos x-r\sin x\ctg\frac{\theta}{2}=
=r\sin x\left(\ctg x-\ctg\frac{\theta}{2}\right)=r\sin x\cdot\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}-x\right)}{\sin x\sin\frac{\theta}{2}}=\frac{r\sin\left(\frac{\theta}{2}-x\right)}{\sin\frac{\theta}{2}}.
Следовательно,
S_{PQRN}=PN\cdot TU=2r\sin x\cdot\frac{r\sin\left(\frac{\theta}{2}-x\right)}{\sin\frac{\theta}{2}}=\frac{2r^{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\cdot\sin x\sin\left(\frac{\theta}{2}-x\right)=
=\frac{r^{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\left(\cos\left(2x-\frac{\theta}{2}\right)-\cos\frac{\theta}{2}\right)\leqslant\frac{r^{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\left(1-\cos\frac{\theta}{2}\right)=
=\frac{r^{2}}{2\sin\frac{\theta}{4}\cos\frac{\theta}{4}}\cdot2\sin^{2}\frac{\theta}{4}=r^{2}\tg\frac{\theta}{4}.
Таким образом, наибольшая площадь прямоугольника равна r^{2}\tg\frac{\theta}{4}
и достигается тогда и только тогда, когда
\cos\left(2x-\frac{\theta}{2}\right)=1,~2x-\frac{\theta}{2},~x=\frac{\theta}{4}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 5, задача 4500, с. 241