16381. Дан нетупоугольный треугольник с углами \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что
\cos\alpha\cos\beta+\cos\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\gamma\gt2\sqrt{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}.
Решение. Если один из углов равен 90^{\circ}
, то
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=0,
поэтому доказываемое неравенство принимает вид
\cos\alpha\cos\beta+\cos\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\gamma\gt0.
В этом случае неравенство очевидно.
Пусть все углы треугольника острые. Тогда
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\ne0,
и исходное неравенство равносильно неравенству
\sqrt{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\gamma}}+\sqrt{\frac{\cos\beta\cos\gamma}{\cos\alpha}}+\sqrt{\frac{\cos\gamma\cos\alpha}{\cos\beta}}\gt2.
Заметим, что
\cos\beta\cos\gamma(\tg\beta+\tg\gamma)=\tg\alpha\cos\gamma~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin\beta\cos\gamma+\cos\beta\sin\gamma=\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin(\beta+\gamma)=\sin\alpha~\Leftrightarrow~\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha.
Последнее равенство очевидно. Тогда
\frac{\cos\beta\cos\gamma}{\cos\alpha}=\frac{\tg\alpha}{\tg\beta+\tg\gamma}.
Аналогично,
\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\gamma}=\frac{\tg\gamma}{\tg\alpha+\tg\beta},~\frac{\cos\gamma\cos\alpha}{\cos\beta}=\frac{\tg\beta}{\tg\gamma+\tg\alpha}.
Пусть \tg\alpha=x
, \tg\beta=y
и \tg\gamma=z
. Теперь достаточно доказать, что для положительных чисел x
, y
и z
верно неравенство
\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\gt2.
Заметим, что
\sqrt{\frac{x}{y+z}}\geqslant\frac{2x}{x+y+z}~\Leftrightarrow~(x+y+z)^{2}\geqslant4x(y+z)~\Leftrightarrow~(y+z-x)^{2}\geqslant0.
Аналогично,
\sqrt{\frac{y}{z+x}}\geqslant(z+x-y)^{2}\geqslant0,~\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geqslant(x+y-z)^{2}\geqslant0,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
x=y+z,~y=z+x,~z=x+y,~\mbox{или}~x=y=z=0.
Противоречие.
Таким образом доказано строгое неравенство
\cos\alpha\cos\beta+\cos\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\gamma\gt2\sqrt{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 6, задача 4510, с. 280