16383. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором
AB^{2}+CD^{2}+2AD\cdot BC=AC^{2}+BD^{2}.
Докажите, что AD\parallel BC
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат, в которой вершины четырёхугольника имеют координаты:
A(0;0),~D(a;0),~B(x;y),~C(u;v),
причём u\gt x
. Тогда
AC^{2}+BD^{2}-AB^{2}-CD^{2}=
=(u^{2}+v^{2})+((x-a)^{2}+y^{2})-(x^{2}+y^{2})-((u-a)^{2}+v^{2})=-2ax+2au.
По условию
AC^{2}+BD^{2}-AB^{2}-CD^{2}=2AD\cdot BC,~\mbox{или}
2a(u-x)=2a\sqrt{(u-x)^{2}+(v-y)^{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(u-x)^{2}=(u-x)^{2}+(v-y)^{2}~\Leftrightarrow~y=v,
т. е. точки B
и C
имеют равные ординаты. Следовательно, прямая BC
параллельна AD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 7, задача 4519, с. 329