16391. Дан треугольник ABC
, в котором \angle BAC\ne90^{\circ}
, а O
— центр описанной окружности. Луч с началом в точке O
, перпендикулярный OA
, пересекает описанную окружность \Gamma
треугольника BOC
в точке M
, а луч AM
вторично пересекает окружность \Gamma
в точке N
. Докажите, что
\frac{NO}{NA}=\frac{2OA^{2}}{AB\cdot AC}.
Решение. При инверсии относительно описанной окружности треугольника ABC
точки A
, B
и C
остаются на месте, окружность \Gamma
, проходящая через центр O
инверсии, переходит в прямую BC
, точка N
, лежащая на окружности \Gamma
— в точку N'
пересечения луча ON
с прямой BC
, а точка M
, лежащая на окружности \Gamma
, — в точку M'
пересечения луча OM
с прямой BC
. Тогда прямая AMN
, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через точки A
, M'
, N'
и центр O
инверсии. Следовательно, точки A
, M'
, N'
и O
лежат на одной окружности, а так как \angle AN'M'=\angle AOM'
, то AN'
— высота треугольника ABC
.
Пусть \angle ABC=\beta
, а R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Из прямоугольного треугольника AN'B
получаем
N'A=AB\sin\beta,
а по теореме синусов из треугольника ABC
—
\sin\beta=\frac{AC}{2R}=\frac{AC}{2OA}~\Rightarrow~N'A=\frac{AB\cdot AC}{2OA}.
Из инверсии
ON'\cdot ON=R^{2}=OA^{2}~\Rightarrow~\frac{ON'}{OA}=\frac{OA}{ON},
значит, треугольники OAN
и ON'A
с общим углом при вершине O
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\frac{NO}{NA}=\frac{OA}{N'A}=\frac{OA}{\frac{AB\cdot AC}{2OA}}=\frac{2OA^{2}}{AB\cdot AC}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2021, № 5, задача 4592, с. 260