16393. Прямые, проведённые через вершины A
и C
треугольника ABC
перпендикулярно сторонам AB
и AC
соответственно, пересекаются в точке D
, а прямые, проведённые через вершины A
и B
перпендикулярно сторонам AC
и AB
соответственно, пересекаются в точке E
. Докажите, что высота треугольника DAE
, проведённая из вершины A
, и симедиана треугольника ABC
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть прямые BE
и CD
пересекаются в точке F
. Тогда ADEF
— параллелограмм. Обозначим через O
его центр.
Прямоугольные треугольники ADC
и AEB
подобны, так как \angle DAE=\angle EAB
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Поэтому
\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}=\frac{EF}{AE},
а так как
\angle BAC=\angle EAC-\angle EAB=90^{\circ}-\angle EAB=\angle AEB=\angle AEF,
то треугольники CAB
и FEA
подобны по двум сторонам и углу между ними. Поскольку при этом подобии медиана EO
треугольника FEA
соответствует медиане AM
треугольника CAB
, то \angle BAM=\angle AEO
.
Из равенства углов DAE
и EAB
следует, что высота AH
треугольника ADE
и симедиана треугольника ABC
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\angle CAH=\angle BAM,~\mbox{или}~90^{\circ}-\angle ADE=\angle EAM,
а так как
\angle EAM=\angle EAB+\angle BAM=(90^{\circ}-\angle AEB)+\angle AED=
=90^{\circ}-(\angle AEB-\angle AED)=90^{\circ}-\angle DEF=90^{\circ}-\angle ADE,
то
\angle CAH=\angle BAM.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2021, № 6, задача 4603, с. 314