16409. На продолжении диаметра AB
окружности за точку A
отмечена точка C
. На перпендикуляре к BC
, восставленном в точке B
, отмечена точка D
. Известно, что прямая DC
касается окружности, а AC=3
и BD=9
. Найдите диаметр окружности.
Ответ. 9.
Решение. Пусть E
— точка касания. Обозначим \angle AEC=\theta
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle AOE=2\angle AEC=2\theta.
Тогда
\angle DOE=\frac{1}{2}\angle BOE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\theta)=90^{\circ}-\theta,
поэтому
\angle ODE=90^{\circ}-\angle DOE=90^{\circ}-(90^{\circ}-\theta)=\theta=\angle AEC.
Значит, AE\parallel OD
.
Обозначим OA=OB=OE=x
и CE=y
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{DE}{EC}=\frac{OA}{AC}~\Rightarrow~\frac{9}{y}=\frac{x}{3}~\Rightarrow~xy=27.
По теореме Пифагора
EC^{2}=OC^{2}-OE^{2}~\Rightarrow~y^{2}=(x+3)^{2}-x^{2}~\Rightarrow~y^{2}=6x+9.
Сложив эти два уравнения, получим
y^{2}+xy=6x+36~\Leftrightarrow~y^{2}-36+xy-6x=0~\Leftrightarrow~(y-6)(y+6)+x(y-6)=0~\Leftrightarrow~(y-6)(y+6+x)=0,
а так как y+6+x\ne0
, то y=6
. Следовательно,
x=\frac{27}{y}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~AB=2x=9.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1936, том 10, № 6, задача 87, с. 230