16411. В треугольнике ABC
известно, что \angle A\lt\angle B\lt\angle C
. Точка D
лежит на стороне AC
, а луч BD
пересекает вписанную окружность треугольника ABC
последовательно в точках G
и F
, причём BG=FD
. Точки A'
, B'
и C'
— середины сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Докажите, что биссектриса угла при вершине C'
треугольника A'B'C'
перпендикулярна BD
.
Решение. Отложим на луче CA
отрезок CD'=BC
. Против меньшего угла в треугольнике лежит меньшая сторона, поэтому точка D'
лежит на отрезке CA
, и биссектриса CE
равнобедренного треугольника BCD'
является его высотой и медианой.
Центр I
вписанной окружности треугольника ABC
лежит на биссектрисе CE
угла BAC
, которая перпендикулярна хорде, высекаемой прямой BD'
из отрезка BD'
. Тогда из равенства DE=BE
следует, что отрезки прямой BD'
, лежащие внутри треугольника ABC
, но вне окружности, равны. Значит, точка D'
совпадает с точкой D
из условия задачи.
Поскольку CB'C'A'
— параллелограмм, биссектрисы его противоположных углов при вершинах C
и C'
параллельны. Выше доказано, что первая из них перпендикулярна BD
, следовательно, вторая тоже перпендикулярна BD
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Поскольку A'C'
— средняя линия треугольника ABC
, то A'C'\parallel AC
, поэтому по теореме Фалеса A'C'
проходит через середину отрезка BD'
, т. е. через точку E
, но это для решения задачи не понадобилось.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1936, том 10, № 7, задача 110, с. 279