16412. CD
— биссектриса треугольника ABC
, точки E
и F
лежат на сторонах AC
и BC
, причём \angle EDA=\angle FDB=\frac{1}{2}\angle ACB
. Верно ли, что DE=DF
?
Ответ. Верно.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда
\angle AED=180^{\circ}-\alpha-\frac{\gamma}{2},~\angle BFD=180^{\circ}-\beta-\frac{\gamma}{2},
поэтому
\angle AED+\angle BFD=360^{\circ}-\alpha-\beta-\gamma=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}.
По теореме синусов из треугольников CDE
и CDF
получаем
\frac{DE}{CD}=\frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\angle DEC}=\frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\angle AED},~\frac{DF}{CD}=\frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\angle DFC}=\frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\angle BFD}.
Разделив первое из равенств на второе, получим
\frac{DE}{DF}=\frac{\sin\angle BFD}{\sin\angle AED}=1.
Следовательно, DE=DF
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1938, том 12, № 7, задача 197, с. 355