16415. Дан треугольник ABC
.
а) На стороне AB
постройте точку P
, для которой перпендикуляр, опущенный из неё на прямую AC
, был бы средним геометрическим отрезков AP
и BP
.
б) На стороне AB
постройте такую точку Q
, чтобы прямая, проведённая через неё параллельно BC
, пересекала сторону AC
в точке E
, для которой отрезок QE
был средним геометрическим отрезков AQ
и QB
.
Решение. Обозначим BC=a
и AB=c
.
б) На стороне AC
как на основании построим равнобедренный треугольник BFC
с боковыми сторонами FA=FC=a+c
с вершиной F
, лежащей с точкой B
по одну сторону от прямой AC
. Отметим на его сторонах FC
и FA
точки D
и F
соответственно, для которых CD=FG=a
, DF=GA=c
.
Пусть N
— точка пересечения отрезков прямой AD
и CG
, а E
— точка пересечения прямой FN
со стороной AC
. По теореме Чевы
1=\frac{CD}{DF}\cdot\frac{FG}{GA}\cdot\frac{AE}{EC}=\frac{a}{c}\cdot\frac{a}{c}\cdot\frac{AE}{EC}=\frac{a^{2}}{c^{2}}\cdot\frac{AE}{EC},
а так как QE\parallel BC
, то
\frac{a^{2}}{c^{2}}=\frac{EC}{AE}=\frac{QB}{AQ}=\frac{AQ\cdot QB}{AQ^{2}}.
В то же время, из подобия треугольников AQE
и ABC
получаем
\frac{QE}{AQ}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}~\Rightarrow~\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{AQ^{2}}{QE^{2}}.
Значит,
QE^{2}=AQ^{2}\cdot\frac{a^{2}}{c^{2}}=AQ^{2}\cdot\frac{AQ\cdot QB}{AQ^{2}}=AQ\cdot QB.
Следовательно, искомая точка Q
— это точка пересечения прямой, проходящей через построенную точку E
параллельно BC
.
а) Опустим перпендикуляр BR
на прямую AC
. Применив приведённые выше рассуждения к треугольнику ARB
, построим на его стороне AC
точку M
. Тогда проведённая через неё прямая, параллельная BR
, пересекает сторону BC
в искомой точке P
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1938, том 13, № 1, задача 219, с. 47