1642. В трапеции основания равны a
и b
, диагонали перпендикулярны, а угол между боковыми сторонами равен \alpha
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{ab(a+b)\tg\alpha}{2|a-b|}
.
Указание. Суммы квадратов противоположных сторон четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равны между собой.
Решение. Пусть AD=b
, BC=a
— основания трапеции ABCD
. Предположим, что b\gt a
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке F
. Тогда
DF=b-a,~\angle DCF=\alpha.
Обозначим AB=CF=x
, CD=y
. Пусть h
— высота трапеции. Тогда
h=\frac{2S_{\triangle DCF}}{DF}=\frac{xy\sin\alpha}{b-a}.
По теореме косинусов из треугольника DCF
находим, что
x^{2}+y^{2}-2xy\cos\alpha=(b-a)^{2}.
Поскольку суммы квадратов противоположных сторон четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равны между собой (см. задачу 1344), то
x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}.
Вычитая почленно первое равенство из второго, получим, что
2xy\cdot\cos\alpha=2ab~\Rightarrow~xy=\frac{ab}{\cos\alpha}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)h=\frac{a+b}{2}\cdot\frac{xy\sin\alpha}{b-a}=
=\frac{a+b}{2}\cdot\frac{\frac{ab}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha}{b-a}=\frac{ab(a+b)\tg\alpha}{2(b-a)}.
Аналогично для случая a\gt b
.