16422. Постройте треугольник по медиане и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и углу между ними.
Решение. Пусть нужный треугольник ABC
с данными медианой AM
, биссектрисой AL
и углом MAL
между ними построен. Пусть луч AL
пересекает описанную окружность треугольника в точке P
. Тогда прямая MP
— серединный перпендикуляр к стороне BC
. Отсюда вытекает следующее построение.
Строим треугольник ALM
по двум сторонам и углу между ними. Через точку M
проводим прямую, перпендикулярную прямой LM
. Пусть P
— точка пересечения этой прямой с продолжением отрезка AL
, а O
— точка пересечения прямой MP
с серединным перпендикуляром к отрезку AP
. Тогда O
— центр описанной окружности искомого треугольника, точка A
— одна его вершина, а точки B
и C
пересечения прямой LM
с построенной окружностью — две другие вершины.
Легко доказать, что треугольник ABC
искомый (см. задачу 1743).
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1941, том 16, № 2, задача 409, с. 107