16423. Фиксированные точки A
и B
расположены на данных окружностях \Gamma
и \Gamma'
соответственно (см. рис.). Постройте параллельные хорды AC
и BD
этих окружностей так, чтобы произведение AC\cdot BD
было максимальным.
Решение. Пусть O
и O'
— центры окружностей \Gamma
и \Gamma'
радиусов R
и r
соответственно. Обозначим \angle CAB=\angle DBA=x
, \angle OAB=\alpha
и \angle O'BA=\beta
. Тогда
AC\cdot BD=2R\cos(x-\alpha)\cdot2r\cos(x-\beta)=2Rr\cdot2\cos(x-\alpha)\cos(x-\beta)=
=2Rr(\cos(2x-\alpha-\beta)+\cos(\beta-\alpha))\leqslant2Rr(1+\cos(\beta-\alpha)),
причём равенство достигается в случае, когда
2x-\alpha-\beta=0~\Leftrightarrow~x=\frac{\alpha+\beta}{2}.
Следовательно, максимум произведения AC\cdot BD
равен 2Rr(1+\cos(\beta-\alpha))
.
Отсюда вытекает следующее построение таких хорд AC
и BD
. От луча AB
в полуплоскость, содержащую точку O
, отложим луч под углом x=\frac{\alpha+\beta}{2}
. Пусть он вторично пересекает окружность \Gamma
в точке C
. Через точку B
проведём хорду BD
окружности \Gamma'
, параллельную хорде AC
окружности \Gamma
. Очевидно, что произведение AC\cdot BD
для построенных хорд максимально.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1942, том 16, № 6, задача 425, с. 305