16424. Точка H
— ортоцентр равнобедренного треугольника ABC
с основанием AB
, P
— произвольная точка описанной окружности треугольника AHB
, отличная от точки, диаметрально противоположной H
. Прямые AP
и BC
пересекаются в точке A'
, а прямые BP
и AC
— в точке B'
. Докажите, что AA'=BB'
.
Решение. Пусть AN
и BM
— высоты треугольника ABC
. Тогда AN=BM
. Четырёхугольник AHPB
вписанный, поэтому
\angle MBB'=\angle HBB'=180^{\circ}-\angle HBP=\angle HAP=\angle NAP=\angle NAA'.
Значит, прямоугольные треугольники MBB'
и NAA'
равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно, AA'=BB'
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Если P
— точка описанной окружности треугольника AHB
, диаметрально противоположная H
, то прямые AP\parallel BC
и BP\parallel AC
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1942, том 16, № 7, задача 443, с. 354