16429. Медиана AM
треугольника ABC
вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке D
. Касательные к этой окружности, проведённые в точках A
и D
, пересекают прямую BC
в точках E
и F
соответственно. Докажите, что AE=FD
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Из точек A
и M
отрезок OE
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OE
. Аналогично, точки D
и M
лежат на окружности с диаметром OF
. Тогда
\angle AOE=\angle AME=\angle FMD=\angle FOD,
а так как OA=OD
как радиусы одной окружности, то прямоугольные треугольники OAE
и ODF
равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно, AE=DF
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1945, том 19, № 8, задача 579, с. 423