1643. Биссектрисы AM
и BN
треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Известно, что AO=\sqrt{3}MO
, NO=(\sqrt{3}-1)BO
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
, 90^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Указание. \frac{AN}{AB}=\frac{NO}{BO}
.
Решение. Обозначим AB=a
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{AB}{AN}=\frac{BO}{NO}
. Поэтому AN=a(\sqrt{3}-1)
. Аналогично BM=\frac{a}{\sqrt{3}}
.
Если CM=c
и CN=b
то
\syst{\frac{a}{\sqrt{3}}+c=\frac{b}{\sqrt{3}-1}\\c\sqrt{3}=a(\sqrt{3}-1)+b.\\}
Умножим обе части первого уравнения на \sqrt{3}-1
и вычтем из него почленно второе. Получим, что c=\frac{2a}{\sqrt{3}}
. Тогда
BC=a\sqrt{3},~AC=\frac{CM\cdot AB}{MB}=2a.
Поскольку AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}
, то треугольник ABC
— прямоугольный,
\angle B=90^{\circ},~\angle C=30^{\circ},~\angle A=60^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1966, билет 7, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 66-7-2, с. 117